Le cercle est une figure géométrique à la forme circulaire. Son périmètre est l’espace qui s’étend autour d’un lieu bien déterminé. Étant donné que le périmètre du carré et du rectangle est la somme de tous les côtés, pour le cercle reste spécifique. Qu’est-ce qu’un cercle ? Quelles sont ses propriétés géométriques ? Comment calculer le périmètre d’un cercle ? La réponse dans cet article.
Qu’est-ce qu’un cercle ?
Un cercle est de la famille des ellipses. C’est une figure géométrique composée de plusieurs points situés à une même distance du centre. Il est constitué d’un espace délimité par une ligne circulaire. Cette dernière est appelée la circonférence. En général, pour construire un cercle, on utilise un crayon, un compas et une gomme en vue de s’assurer du tracé de son contour.
Par ailleurs, un cercle est caractérisé par un rayon, un diamètre, une corde, un arc du cercle, un angle inscrit, une tangente au cercle, un disque et un secteur circulaire. Par définition, une corde est une droite quittant un point du cercle à un autre. Quant à l’arc, il désigne une portion du cercle circonscrit par deux (02) points en passant par un point. Il est important de savoir qu’il faut nécessairement trois (03) points pour un arc de cercle. En outre, pour déterminer sa mesure, celle de l’angle au centre qui lui est lié doit être connue au préalable.
L’angle au centre mesure entre 0⁰ et 360⁰ et permet de définir une zone précise du cercle. C’est aussi la mesure du diamètre formé par l’addition de deux rayons. Son sommet coïncide au centre de la courbe plane fermée. Pour ce qui est du disque, il s’agit de la région du plan démarquée par le cercle. Il comprend un secteur circulaire qui est une partie du disque située au milieu du diamètre. C’est-à-dire au centre du cercle.
Quelles sont les propriétés géométriques d’un cercle ?
La médiatrice
La médiatrice d’une corde est la droite qui passe par le centre du cercle. Tous les points de la médiatrice sont localisés à la même distance des extrémités de la figure. Elle aide les apprenants à identifier le centre du cercle en traçant deux (02) droites distinctes. Une fois tracée, l’élève se mettra à la quête du point d’intersection de leurs médiatrices.
La tangente d’un cercle
La tangente est une ligne droite qui rencontre une courbe sur un point quelconque du cercle. En un point A du cercle, la tangente est perpendiculaire au rayon en ce point A. Elle est également une droite qui touche le cercle en un seul point sans traverser l’intérieur de la figure. Pour tracer une tangente dans n’importe quel projet, vous aurez besoin de cinq (05) outils. On peut citer le compas, le crayon, l’équerre, le rapporteur et une règle plate.
L’angle inscrit
Un angle inscrit est un angle ayant un sommet situé sur le cercle dont chaque côté intercepte l’arc de cercle. Pour mesurer cet angle, l’usage des relations métriques devient prioritaire.
Qu’est-ce qu’un cercle inscrit et un cercle circonscrit ?
Un cercle inscrit est un cercle qu’on réalise dans un polygone. Il est tangent à tous les côtés de celui-ci. Il a un point qui est relié à tous les côtés du polygone. Pour le dessiner, on se sert des notions en bissectrice, d’un crayon et d’un compas résistant. En ce qui concerne un cercle circonscrit, c’est un cercle qui passe par chacun des sommets d’un polygone. Généralement, il est tracé autour de ce dernier. Autrement dit, il se trouve à l’extérieur du polygone et le polygone se situe à l’intérieur du cercle. Sa construction nécessite les règles pour tracer une médiatrice, un crayon à papier et un compas.
Quelles sont les principales caractéristiques d’un cercle ?
Les principales caractéristiques d’un cercle sont : le rayon, le diamètre et le périmètre.
Le diamètre
Le diamètre est la distance entre deux points du cercle. C’est-à-dire le segment de droite qui passe par le centre et s’achève au bout du cercle. Il fait deux (02) fois le rayon.
Pour rechercher le diamètre, il faut multiplier le rayon du cercle par 2. Par exemple, si le rayon d’un cercle mesure 2 cm, la longueur de son diamètre sera égale à D=2r, or r=2cm ; donc D=2×2 => D=4 cm. Le diamètre équivaut donc à 4 cm.
Vous pouvez également calculer le diamètre à partir de la formule de la circonférence C=π D. Ceci se fait en isolant le diamètre et envoyant au dénominateur de C (circonférence) le pi (π) ; ce qui donne D= C/π.
Exemple : On considère un cercle de centre O avec une circonférence de 20 cm. Combien mesure le diamètre de ce cercle si π=3,14 ?
Le diamètre est : D= 20/3,14 => D= 6,37 cm. On peut déduire que le diamètre est approximativement égal à 6,37 centimètres.
Il peut aussi être calculé à partir de la formule de l’aire du cercle dont la formule est A= (π D²)/4. Pour tirer le diamètre qui est noté D, il suffit d’effectuer quelques déplacements mathématiques suivant ce processus :
- Isoler le diamètre (D), précisément le D² ;
- Multiplier ensuite l’aire (A) par le 4 du dénominateur de π D² ;
- Diviser l’aire A associée à 4 par pi (π) ;
- Obtenir 4A/π sous une racine carrée ;
- Calculer enfin la racine carrée et obtenir 2 (√A/π) ;
Le diamètre est égal alors à : D = 2 (√A/π).
Démonstration :
A= (π D²) /4 <==> 4A= (π D²)
<==> D²= 4A/ π
<==> D= √ (4A/ π)
<==> D= 2 (√(A/π))
Exemple : Soit 25 cm, l’aire d’un cercle avec π= 3,14. Quelle est la valeur du diamètre de ce cercle ?
On sait que D= 2 (√(A/π). Or A= 25 cm et π= 3,14. On a : D = 2× (√(25/3,14) <==> D= 2 ×√7,96 <==> = 2,82×2 <==> D= 5,64 cm.
Le rayon
Le rayon est la distance qui quitte le centre du cercle vers tout point du contour. Il s’agit du diamètre divisé par deux (02). Si vous connaissez la mesure de son diamètre, l’aire du cercle noté A ou le périmètre encore appelé la circonférence noté C, vous pouvez calculer le rayon. Il existe au moins trois (03) méthodes de calcul pour trouver la mesure du rayon dans un cercle.
Méthode I
Ici, c’est à partir de la formule de la circonférence (C) qu’on peut déterminer la formule du rayon (r). La circonférence a pour formule : C= 2πr. Pour définir le rayon r, on procède comme suit :
- Isoler le r ;
- Renvoyer le 2π au dénominateur de C ;
- Obtenir ensuite la formule r= C/2π.
Application :
La circonférence d’un cercle mesure 15 cm. Pour trouver le rayon, il suffit d’établir la formule suivante : r= C/2π.
Avec C= 15 cm et π= 3,14 on a: r = 15/(2×3,14) <==> r = 15/6,28 <==> r= 2,38 cm.
Méthode II
Le rayon peut également être calculé en établissant l’aire du cercle qui est A=π r². Pour avoir le rayon r, il faut :
- Isoler r² ;
- Diviser l’aire par pi π ;
- Mettre le résultat obtenu sous la racine carrée.
Ainsi, vous aurez r= √(A/π).
Méthode III
La troisième méthode est la plus simple. On le fait à partir du diamètre. Sachant que D= r², r= √D.
Application :
Soit D= 4 cm le diamètre d’un cercle. Quelle sera la longueur du rayon ?
On sait que r= √D avec D= 4 cm.
On a : r= √4 <==> r= 2 cm.
Le périmètre d’un cercle : comment le calculer ?
Le périmètre d’un cercle est la circonférence d’un cercle. Pour un polygone, c’est la somme des longueurs et largeurs. Il peut être calculé de différentes manières. Mais, lorsqu’il s’agit d’un cercle, la formule change.
Formule Nº1
La première formule pour le calcul du périmètre d’un cercle est : P= 2πr avec r qui signifie rayon et π le pi d’une valeur de 3,14.
Exemple : On considère un cercle C’ ayant un rayon de 6 cm. Par quelle formule mathématique, le périmètre de ce cercle pourrait être connu ?
Le périmètre du cercle est P= 2πr.
Or, r= 6 cm et π= 3,14. P= 2×3,14×6 ==> P= 37,7 cm.
D’où le périmètre du cercle C’ est de 37,7 cm.
Formule Nº2
La seconde formule du calcul du périmètre d’un cercle peut s’établir si on connaît la valeur de son diamètre. On a donc, P= D×π avec D qu’est le diamètre.
Exemple : Soit D= 12cm le diamètre d’un cercle C ». Déterminer le périmètre de cercle.
Soit P=D×π la formule du périmètre d’un cercle. On a: D= 12 cm et π= 3,14.
P= 12×3,14 <==> P= 37,7 cm.
Le périmètre du cercle C » est égal à 37,7 cm.
